Sincronización controlada multifrecuencia de cuatro motores inductores mediante el método de relación de frecuencia fija en un sistema de vibración

Jan 21, 2024

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 2467 (2023) Citar este artículo

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En este artículo, se investiga la sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores inductores mediante el método de relación de frecuencia fija en un sistema de vibración. Se establece el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico del sistema vibratorio. La condición síncrona del sistema vibratorio se obtiene con el método de pequeños parámetros. A través de la derivación teórica y la simulación numérica, no se puede realizar la autosincronización multifrecuencia de cuatro motores de inducción en el sistema de vibración. Para lograr el propósito del movimiento de sincronización multifrecuencia, se propone el método de sincronización controlada por multifrecuencia y se introduce un método de control PID difuso. La estabilidad del sistema de control está certificada por el criterio de Lyapunov. Se presenta una arbitrariedad del método de control propuesto que se aplica al sistema de vibración. Para certificar la exactitud de la teoría y la simulación, se construye un banco de pruebas vibratorio. Se realizan algunos experimentos para validar la efectividad y el método de sincronización controlada propuesto.

Con el desarrollo de la economía, la búsqueda de intereses parece ser particularmente importante en la producción industrial. Para lograr este objetivo, se presentan muchas tecnologías correspondientes. Mientras tanto, se investigan los beneficios para la agricultura de las máquinas vibratorias como rama de la industria, por ejemplo, la criba vibratoria, el alimentador vibratorio, etc.1,2,3,4. Este tipo de máquinas vibratorias suelen estructurarse según dos patrones en la industria. Un tipo de sincronización forzada se realiza mediante correas, engranajes, etc. Pueden implementar velocidades iguales o diferentes entre motores inductores. El otro tipo se basa en la teoría de la autosincronización propuesta por primera vez por Blekhman5,6. En su investigación, el modelo dinámico se combina con el método multiescala, que es un método analítico asintótico basado en el método promedio. Al utilizar diferentes escalas de tiempo, dividen el movimiento vibratorio en dos tipos de procesos, que son respectivamente procesos rápidos y lentos. El rápido es relativo a la velocidad del motor y el lento es relativo a la fase. Así, dos rotores excéntricos (ER) accionados por motores de inducción realizan la autosincronización en direcciones opuestas. Obviamente, las máquinas vibratorias se pueden realizar con una estructura más simple y menos costosa mediante la teoría de la autosincronización. A partir de los resultados anteriores, muchos investigadores se sienten atraídos por este campo y adquiere un rápido desarrollo. Wen et al.7 analizan las características del sistema vibratorio basándose en un modelo dinámico de alto acoplamiento. Además, derivaron las condiciones de sincronización y estabilidad del sistema vibratorio con el criterio de Hamilton. Zhao et al.8,9 establecen el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico y convierten el problema de la condición sincrónica en una existencia del valor propio con el método de promedio de parámetros pequeños. No sólo realizan el movimiento de autosincronización de dos motores en direcciones opuestas sino también en las mismas direcciones. Las investigaciones anteriores se establecen en un solo cuerpo rígido. Zhang et al.1,10,11,12,13 presentan la teoría de la autosincronización con múltiples motores (más de dos motores). En su investigación se establece el modelo dinámico basado en un cuerpo rígido. Con la condición de sincronización y los criterios de sincronización de autosincronización, se proporciona el análisis característico del modelo dinámico. Los resultados de su investigación presentan que la autosincronización del sistema vibratorio con tres motores no puede obtener una amplitud superpuesta y este fenómeno no se da cuenta de las diferencias cero entre los tres motores. Todos los problemas de sincronización anteriores se basan en la misma frecuencia de motores. El problema de sincronización con diferente frecuencia lo presenta Inoue Junki chi14. En su funcionamiento, cuatro motores están instalados simétricamente sobre un soporte vibratorio a lo largo del eje vertical en lugar del eje horizontal. Y utilizan esta característica asimétrica para realizar la sincronización multifrecuencia. Sin embargo, la polilla de la Ref.14 solo puede realizar un estado sincrónico con el modelo dinámico fijo. Este resultado no puede satisfacer las necesidades de la industria.

El movimiento de autosincronización que puede realizar la diferencia cero entre dos motores debe satisfacer la condición de sincronización y los criterios de sincronización. Y este resultado depende de la característica dinámica del sistema vibratorio. Para solucionar este problema, se introducen métodos de control en el sistema vibratorio. Kong et al.15,16 introducen la estrategia y el método de control en el movimiento de autosincronización y realizan el movimiento de sincronización controlado. En su investigación, se presenta una estrategia de control maestro-esclavo y un método de control de modo deslizante adaptativo para ser utilizados en el modelo dinámico del sistema vibratorio. Con este método, las diferencias de los motores que no son cero en la autosincronización pueden finalmente llevarse a cero. Además del método anterior, Ishizaki et al.17 utilizan el método de control de acoplamiento cruzado para realizar la sincronización con sistemas servo duales. Con el objetivo del sistema de motor lineal dual, Lin et al.18 aplican un método de control de modo deslizante complementario inteligente para implementar el acoplamiento cruzado síncrono. Prestando atención a las diferentes frecuencias de los motores en el movimiento de sincronización, Jia et al.19,20 proponen el método PID difuso adaptativo y realizan el movimiento de sincronización controlado por multifrecuencia. Tian et al.21 ilustran la estimación rápida y robusta de posiciones y velocidades mediante el uso de un método de funciones de modulación generalizadas. Balthazar et al.22 dan la investigación de la autosincronización de cuatro excitadores no ideales. Nanha Djanan et al.23,24 estudian el movimiento de autosincronización sobre una placa rectangular.

Según las ilustraciones anteriores, el propósito de realizar los movimientos de sincronización es aumentar las amplitudes del sistema vibratorio en función de la característica dinámica. Y este resultado se puede convertir para lograr diferencias cero entre motores. Sin embargo, la sincronización multifrecuencia sólo se puede realizar con una frecuencia entera (2 o 3 veces). Para resolver este problema, se propone la sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores inductores mediante el método de relación de frecuencia fija y se proporciona la estructura principal en este artículo. En el apartado “Modelo matemático y análisis de sincronización”, se establece el modelo dinámico del sistema vibratorio con cuatro motores. Y luego, la condición de sincronización y los criterios del sistema vibratorio se obtienen en el ciclo múltiplo común mínimo con el método de parámetros pequeños. En la sección "Diseño del sistema de control", se introduce el método de control PID difuso adaptativo en el sistema vibratorio basado en una estrategia de control maestro-esclavo y la estabilidad del sistema de control está certificada por la teoría de Lyapunov. Para una ilustración legible, algunas simulaciones numéricas y experimentos se muestran en la sección "Resultados numéricos y experimentales con discusiones" y se enumera la conformidad entre simulación y experimento. En el apartado "Conclusiones" se dan algunas conclusiones sobre este artículo.

En esta sección, el modelo matemático del sistema vibratorio se muestra en la Fig. 1, el cual se establece de abajo hacia arriba. Todos los símbolos se enumeran en la Tabla 1. Un marco rígido está conectado a la base con cuatro resortes que están distribuidos simétricamente a lo largo del eje de coordenadas. Cuatro motores inductores de jaula de ardilla divididos en dos grupos están fijados simétricamente al bastidor. Los motores 1 y 4 como grupo tienen la misma frecuencia y el otro grupo está formado por los motores 2 y 3, cuyas frecuencias son diferentes a las del grupo frontal. Cada motor se instala mediante cuatro pernos a través de orificios circulares en el marco.

Modelo matemático del sistema vibratorio.

Como se muestra en la Fig. 1, o es el punto central del marco y oi (i = 1, 2, 3, 4) son respectivamente los puntos del eje de cuatro motores inductores. \(oo_{i} = l_{i}\) (i = 1, 2, 3, 4) son respectivamente las distancias entre el punto central del marco o y los puntos del eje de cuatro motores inductores oi. m es la calidad del marco y cuatro motores inductores. m0 es la calidad total de cada ER y mi (i = 1, 2, 3, 4) son respectivamente la calidad real de cuatro ER. r es el radio de cuatro motores. \(\varphi_{i} (i = 1,2,3,4)\) son el ángulo de fase inicial de los motores inductores. \(\theta_{i} (i = 1,2,3,4)\) es el ángulo de posición de cuatro ER.\(J_{p}\) es la inercia rotacional del marco. \(\psi\) es el ángulo de giro del sistema vibratorio. Por tanto, la ecuación diferencial del sistema vibratorio basada en la ecuación de Lagrange se puede expresar como

donde \(L = T - V\). L es la función de Lagrange. T y V son respectivamente la energía cinética y la energía potencial. Q y q representan respectivamente fuerza generalizada y coordenadas generalizadas. \({\mathbf{Q}} = ( - f_{x} \dot{x}, - f_{y} \dot{y}, - f_{\psi } \dot{\psi },T_{e1} - f_{1} \dot{\varphi }_{1} ,T_{e2} - f_{2} \dot{\varphi }_{2} ,T_{e3} - f_{3} \dot{\varphi }_{3} ,T_{e4} - f_{4} \dot{\varphi }_{4} )^{{\text{T}}}\), \({\mathbf{q}} = ( x,y,\psi ,\varphi_{1} ,\varphi_{2} ,\varphi_{3} ,\varphi_{4} )^{{\text{T}}}\).

En la ecuación. (2), \({\mathbf{x}}_{i} = \left( \begin{reunidos} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{reunidos} \right) + \left( {\ comenzar{array}{*{20}c} {\cos \psi } & { - \sin \psi } \\ {\sin \psi } & {\cos \psi } \\ \end{array} } \right )\left( \begin{reunidos} l_{i} \cos \theta_{i} + \tau_{i} r\cos \varphi_{i} \hfill \\ l_{i} \sin \theta_{i} + r\sin \varphi_{i} \hfill \\ \end{reunidos} \right)\).

Ec. combinada (1) con las ecuaciones. (2) y (3), se puede obtener el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico del sistema vibratorio.

donde \(M = m + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} }\) es la masa total del sistema vibratorio, \(J = Ml_{e}^{2} \ aprox J_{p} + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} } (l_{i}^{2} + r^{2} )\) es la inercia rotacional equivalente del sistema vibratorio. \(l_{e}\) es el radio de rotación equivalente. \(J_{i} = m_{i} r^{2} (i = 1,2,3,4)\) son, respectivamente, la inercia rotacional de cuatro motores. \(f_{x}\), \(f_{y}\) y \(f_{\psi }\) son respectivamente los coeficientes de amortiguación del sistema vibratorio en \(x\), \(y\) y \( \psi\) direcciones, \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(k_{x}\), \(k_{y}\) y \(k_{\psi }\) son respectivamente los coeficientes de rigidez del sistema vibratorio en \(x\), \(y\) y \( \psi\) direcciones, \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(f_{i} (i = 1,2,3,4)\), \(T_{ei} (i = 1,2,3,4)\) y \(T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) son respectivamente coeficientes de amortiguación, pares electromagnéticos y pares de carga de cuatro motores. El elemento TL en la ecuación. (4) se puede derivar como la ecuación. (5).

Con el objetivo de ilustrar el elemento Te en el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico, se proporciona el modelo de motor inductor. En este artículo, las ER son impulsadas por motores inductores de jaula de ardilla. Con la característica de este tipo de motor inductor, los devanados del rotor interno sufren un cortocircuito. Por tanto, \(u_{rd} = u_{rq}\). Cuando el motor está en estado estable, \(\phi_{rd}\) = constante y \(\phi_{rq}\) = 0. Según el documento 25, el modelo del motor inductor se puede expresar como la ecuación. (6).

donde, s y r representan respectivamente el estator y el rotor. d- y q- representan el eje d y el eje q en el marco de coordenadas giratorio. i, u y R representan respectivamente corriente, voltaje y resistencia. Ls y Lr representan respectivamente la autoinductancia del estator y del rotor. Lm es la inductancia mutua del estator y el rotor. Tr es la constante de tiempo del rotor, \(T_{r} = L_{r} /R_{r}\). Lks es la inductancia de fuga del estator, \(L_{ks} = L_{s} - L_{m}^{2} /L_{r}\). Rks es la resistencia equivalente del estator, \(R_{ks} = R_{s} + L_{m}^{2} R_{r} /L_{r}^{2}\). \({\uptheta }\) representa el ángulo de enlace de flujo síncrono, \({\uptheta } = \int {(\omega + \omega_{s} )} dt\). \(\omega\) representa la velocidad angular mecánica. \(\omega_{s}\) representa la velocidad angular eléctrica síncrona, \(\omega_{s} = L_{m} i_{sq} /\phi_{rd} T_{r}\).

Para realizar la sincronización controlada, se introduce el método de control vectorial en el sistema de control. Y el control orientado al flujo del rotor (RFOC) se muestra en la Fig. 2 para ilustrar el sistema de control. En la Fig. 2, los signos con “\(*\)” son valores iniciales y en la ecuación. (5), \(L_{m}\) y \(\phi_{rd}\) reciben valores dados. \(i_{sd}\) se puede calcular mediante la formulación \(i_{sd} = \phi_{rd} /L_{m}\). Por lo tanto, el ítem Te está relacionado con los valores de retroalimentación \(i_{sq}\).

RFOC: control orientado al flujo del rotor.

Para mostrar claramente el análisis de estabilidad del sistema vibratorio, primero se debe dar la ilustración del modelo dinámico. En este modelo, el motor 1 y el motor 4 giraron en dirección opuesta como se muestra en la Fig. 1 en primer lugar. Cuando los dos motores realizan el movimiento estable de autosincronización con diferencia de fase cero, el estado estable sincrónico de los motores 1 y 4 se puede expresar como \(\omega_{1} - \omega_{4} = 0\) y \(\ varphi_ {1} - \varphi_ {4} = 0 \). Luego, el motor 2 y el motor 3 finalizan el mismo movimiento de autosincronización que en la condición anterior. De la misma manera, el estado estable sincrónico de los motores 2 y 3 se puede expresar como \(\omega_{2} - \omega_{3} = 0\) y \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 0\). Finalmente, los motores 1 y 4 realizan el movimiento de sincronización multifrecuencia con el método de relación de frecuencia fija y el estado sincrónico estable se puede presentar como \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2 }\) = 0 y \(n\varphi_{1} - \varphi_{2}\) = constante. Donde p y q son números primos, p/q = n. Por lo tanto, las velocidades de cuatro motores se pueden presentar como

Tomando la ecuación. (7) en la ecuación. (4), las respuestas en tres direcciones del sistema vibratorio se pueden derivar como la ecuación. (8).

donde \(\omega_{x}^{2} = k_{x} /M\), \(\omega_{y}^{2} = k_{y} /M\), \(\omega_{\psi }^{2} = k_{\psi } /J\), \(\zeta_{x} = f_{x} /(2\sqrt {k_{x} M} )\), \(\zeta_{y) } = f_{y} /(2\sqrt {k_{y} M} )\(\zeta_{\psi } = f_{\psi } /(2\sqrt {k_{\psi } J} ) \), \(\mu_{xi} = 1 - \omega_{x}^{2} /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{yi} = 1 - \omega_{y} ^{2 } /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{\psi i} = 1 - \omega_{\psi }^{2} /\omega_{i}^{2}\ ), \ (r_{li} = l_{i} /l_{e}\), \(\tan \gamma_{xi} = 2\zeta_{x} \omega_{x} /(\mu_{xi} \ omega_{i } )\), \(\tan \gamma_{yi} = 2\zeta_{y} \omega_{y} /(\mu_{yi} \omega_{i} )\), \(\tan \ gamma_{\ psi i} = 2\zeta_{\psi } \omega_{\psi } /(\mu_{\psi i} \omega_{i} )\, \(r_{m} = m_{0} / M\), \(\eta_{i} = m_{i} /m_{0} (i = 1,2,3,4)\).

Con el método de parámetros pequeños, el parámetro pequeño \(\varepsilon\) se introduce en la ecuación. (4). Y luego, la Ec. (4) se puede convertir a la ecuación. (9).

donde \(\omega_{0}\) es la velocidad promedio de los motores en la autosincronización. El método de cálculo de \(\overline{T}_{ei} = T_{e0i} - k_{e0i} \overline{\varepsilon }_{i} (i = 1,2,3,4)\) puede ser obtenido de la Ref.15. Suponiendo \(\dot{\varphi }_{1} = (p + \varepsilon_{1} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{2} = (q + \varepsilon_{ 2} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{3} = (q + \varepsilon_{3} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_ {4} = (p + \varepsilon_{4} )\omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{1} { = }\dot{\varepsilon }_{1} \omega_{0 }\), \(\ddot{\varphi }_{2} { = }\dot{\varepsilon }_{2} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{3} { = }\dot{\varepsilon }_{3} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{4} { = }\dot{\varepsilon }_{4} \omega_{0} \), los pares de carga promedio se pueden expresar como

Los elementos de coeficiente y constante se enumeran en el Apéndice A en línea.

Del Apéndice A en línea se puede saber que cuando dos motores inductores tienen la misma frecuencia (autosincronización), existe el efecto de acoplamiento. De lo contrario, no se produce ningún efecto de acoplamiento entre dos motores. Debido a que el motor 1 y el motor 4 realizan un movimiento de autosincronización, la diferencia de fase promedio se puede expresar como \(\varphi_{1} - \varphi_{4} = 2\alpha_{1}\). Basado en la misma teoría, la diferencia de fase promedio entre el motor 2 y el motor 3 se puede expresar como \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 2\alpha_{2}\). Tome los elementos Te y TL en la ecuación. (10) y expandirlo en \(\alpha_{1}\) y \(\alpha_{2}\) respectivamente. Mientras tanto, omita los términos no lineales de orden superior y suponga que \(\varepsilon_{5}\) y \(\varepsilon_{6}\) son, respectivamente, la pequeña perturbación del parámetro de dos grupos de motores inductores. Se puede obtener la ecuación (11).

donde, \({\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}c}{a^{\prime}_{11}} & 0 & 0 & {a^{\ prime}_{14}}&0&0\\0&{a^{\prime}_{22}}&{a^{\prime}_{23}}&0&0&0\\0& {a^{\prime}_{32 }} &{a^{\prime}_{33}}&0&0&0\{a^{\prime}_{41}}&0&0& {a^{\prime}_{44}} &0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\ \\end{array}} \right)\), \({\mathbf{B}} = \left({\begin{array}{*{20}c}{b^{\prime}_{11} } & 0 & 0 & { b^{\prime}_{14}} & {b^{\prime}_{15}} & 0\\0&{b^{\prime}_{22}}&{ b^{\prime} _{23}}&0&0&{b^{\prime}_{26}}\\0&{b^{\prime}_{32}}&{b^{\prime}_{33 } }&0&0&{b^{\prime}_{36}}\\{b^{\prime}_{41}}&0&0&{b^{\prime}_{44}}& {b^{\prime} _{45}}&0\\{\omega_{0}/2}&0&0&{-\omega_{0}/2}&0&0\\0&{\ omega_{0} /2} & { - \omega_{0} / 2} & 0 & 0 & 0 \\\end{array}} \right)\), \({\dot{\overline{\mathbf{ \item psilon }}}} = \left( {\begin{array }{*{20}c} {\dot{\overline{\itempsilon }}_{1} } & {\dot{\overline{\itempsilon } }_{2} } & {\dot{\overline{\ itempsilon }}_{3} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{4} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{5} } & {\dot{\overline{ \varepsilon }}_{6} } \\\end{array} } \right)^{{\text{T}}}\), \( {\overline{\mathbf{\itempsilon}}} = \left ( {\begin{array}{*{20}c} {\overline{\itempsilon}_{1} } & {\overline{\itempsilon}_; {2} } & {\overline{\itempsilon }_{ 3} } & {\overline{\itempsilon }_{4} } & {\overline{\itempsilon }_{5} } & {\overline{\itempsilon }_{6} } \\ \end{array} } \right)^{{\text{T}}}\), \({{\varvec{\upupsilon}}} = \left( {\begin{ array}{*{20}c} {\upsilon_{1 }} & {\upsilon_{2}} & {\upsilon_{3}} & {\upsilon_{4}} & 0 & 0 \\\end{array } } \right)^{{\text{T}} }\). \(a^{\prime}_{ij}\), \(b^{\prime}_{ij}\) y \(\upsilon_{i}(i = 1,2,3,4)\) se enumeran en el Apéndice B en línea.

Cuando el sistema vibratorio alcanza el estado sincrónico estable, los pequeños parámetros \(\varepsilon = 0\) y \(\dot{\varepsilon } = 0\). Por tanto, la condición sincrónica de cuatro ER se puede expresar como la ecuación. (12).

donde \(T_{eNi} (i = 1,2,3,4)\) son respectivamente los pares electromagnéticos nominales de cuatro motores inductores. Debido al estado sincrónico estable, se puede obtener el resultado de \({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\). Tome \({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\) en la ecuación. (12), y luego la ecuación. (13) se puede adquirir.

Como se muestra en la ecuación. (11), debido a que la matriz A es una matriz no singular y el determinante \(\left| {\mathbf{A}} \right| \ne 0\), la matriz A es invertible. Entonces, la ecuación. (13) se puede expresar como la ecuación. (14).

donde \({\mathbf{D = A}}^{{ - {1}}} {\mathbf{B}}\). Debido a \(\left|{\lambda{\mathbf{I}} - {\mathbf{D}}}\right|{\mathbf{=}}{0}\), la ecuación característica de la matriz puede ser representado como

donde \(d_{j} (j = 1,2,3,4,5,6)\) y \(\lambda\) son respectivamente coeficientes y valores característicos de la ecuación característica.

Cuando la ecuación característica cumple la condición del criterio de Hurwitz, el estado sincrónico del sistema vibratorio es estable. De lo contrario, es inestable.

En esta sección, el sistema de control del sistema vibratorio se muestra en la Fig. 3. La estrategia de control maestro-esclavo se introduce en la estructura controlada y el método PID difuso se utiliza en el método de control vectorial de los motores inductores26,27. El motor 1 se considera el motor maestro del sistema. Los motores 2 y 4 se consideran motores esclavos del motor 1. Mientras tanto, el motor 3 se considera como motor esclavo del motor 2.

Diagrama marco del sistema de control.

Para certificar la viabilidad del sistema de control, se debe ilustrar la Fig. 3. \(\omega_{t}\) como velocidad objetivo se da primero y luego, a través del método PID difuso, la velocidad del motor 1 \(\omega_{1}\) se puede obtener con RFOC 1. Hay tres funciones de \(\omega_{1}\). Uno se transfiere al motor 1 como valor de realimentación. Otro se le da al motor 2 como valor de entrada. El otro se utiliza para obtener \(\varphi_{1}\) mediante el método integral. Con la misma frecuencia, el sistema de control se traza a través de la fase, mientras que se traza a través de la velocidad con el método de relación de frecuencia fija. De este modo se pueden adquirir las velocidades y fases de los motores 2, 3 y 4.

Debido a que hay dos situaciones de rastreo en la Fig. 3 que son respectivamente el rastreo de velocidad y el rastreo de fase, la estabilidad del sistema de control debe discutirse por separado. En la situación de rastreo de velocidad, la velocidad del motor se establece como variable de estado, \(\omega = \dot{\varphi }\). Tomando \(\omega = \dot{\varphi }\) en la ecuación. (4), por lo tanto la ecuación. (4) se puede expresar como

donde \(K_{Ti} = L_{mi} \phi_{rdi} /L_{ri} (i = 1,2,3,4)\), \(u_{i}\) como variable controladora representa \ (i_{qsi}^{ * }\), \(i = 1,2,3,4\). \(W_{i} = - T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) representa las cargas inciertas. \(J_{i} (i = 1,2,3,4)\), representa respectivamente la inercia rotacional de cuatro motores. Combinada la velocidad objetivo dada \(\omega_{t}\) en la Fig. 3 con la velocidad real \(\omega\), el error de velocidad del motor se puede expresar como

Entonces, el error de rastreo del sistema se puede representar como \({\boldsymbol{E}} = [e,\dot{e}]^{{\text{T}}}\). Según la ecuación. (16), la ley de control del sistema se puede diseñar como

donde \({\boldsymbol{K}} = [k_{p} ,k_{i} ]^{{\text{T}}}\). La función \(\hat{f}(x)\) se puede expresar como \(\hat{f}(x|\theta_{f} ) = \theta_{f}^{{\text{T}}} \xi (x)\) que se basa en el coeficiente de peso \(\theta_{f}\). Por tanto, la ley adaptativa del sistema de control puede diseñarse como la ecuación. (19).

donde P es una matriz definida positiva. Considerando \(\Omega_{f}\) como un conjunto convexo para asegurar que el coeficiente de peso óptimo \(\theta_{f}^{ * }\) le pertenece y el coeficiente de peso \(\theta_{f}\) es encerrado. Y luego, \(\theta_{f}^{*}\) se puede estructurar como

Tomando la ecuación. (18) en la ecuación. (16), la ecuación de circuito cerrado del sistema de control está diseñada como

donde \({\mathbf{b}} = \left( \begin{reunidos} 0 \hfill\\1 \hfill\\end{reunidos}\right)\), \({{\varvec{\Lambda} } } = \left({\begin{array}{*{20}c}0&1\\{-k_{p}}&{-k_{i}}\\end{array}}\right) \).

Como se ilustra en la sección "Diseño del sistema de acoplamiento electromecánico", debido a que el sistema de control es un sistema de retroalimentación, se debe considerar el error de velocidad y el error de fase. Así, la ecuación. (21) se puede convertir a la ecuación. (22) que es la ecuación de error aproximada con las Ecs. (18) y (19).

donde \(\Gamma = \hat{f}(x|\theta_{f}^{*} ) - f(x)\) es el error mínimo aproximado.

Para adquirir los valores mínimos de E y \(\theta_{f} - \theta_{f}^{*}\), se construye una función de Lyapunov como la ecuación. (23).

donde \(\zeta\) es un número real positivo. Se introduce Q como una matriz definida positiva para satisfacer la estabilidad de la ecuación de Lyapunov.

Conjunto \(V_{1} = E^{{\text{T}}}{\mathbf{P}}E/2\), la derivada \(\dot{V}_{{1}} = - E ^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + (\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\xi(x) + E^{{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). De manera similar, establezca \({\mathbf{V}}_{2} = (\theta_{f} - \theta_{f}^{*})^{{\text{T}}}(\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )/(2\zeta )\), y luego la derivada \({\dot{\mathbf{V}}}_{2} = (\theta_{f} - \ theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} \dot{\theta}_{f} /\zeta\). Según el criterio de Lyapunov, la derivada de la ecuación se puede expresar como \({\dot{\mathbf{V}}} = {\dot{\mathbf{V}}}_{{1}} + {\dot {\mathbf{V}}}_{{2}}\), trae \({\mathbf{V}}_{1}\) y \({\mathbf{V}}_{2}\) a \({\mathbf{V}}\), se puede derivar como \(\dot{V} = - E^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). Cuando existen los valores de \(\Gamma\) que pueden satisfacer la condición \({\dot{\mathbf{V}}}\le 0\), el sistema es estable.

Con el mismo método anterior, se puede obtener la certificación de estabilidad del error de velocidad y error de fase con los otros motores.

En esta sección, se dan algunos ejemplos representativos de simulación numérica. Los resultados demuestran que la autosincronización multifrecuencia no se puede realizar. Sin embargo, la sincronización controlada multifrecuencia se puede realizar mediante el método PID difuso. Y luego, se dan los mismos resultados con los experimentos. Los parámetros en las simulaciones y experimentos se enumeran en las Tablas 2 y 3.

Según el modelo de la Fig. 1, la frecuencia de los motores 1 y 4 se establece en 30 Hz y la frecuencia de los motores 2 y 3 es 45 Hz. Los resultados de la simulación en la Fig. 4a representan que las velocidades de cuatro motores alcanzan las velocidades dadas. En la Fig. 4b, se representa que la fase entre los motores 1 y 4 es aproximadamente igual a cero. Este resultado muestra que dos motores girados en dirección opuesta con la misma frecuencia pueden alcanzar el estado de sincronización estable. De manera similar, la fase entre los motores 2 y 3 también tiende a cero en la Fig. 4c. Con la teoría no lineal, cuando el sistema puede alcanzar \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2}\) = 0 y \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2}\) = constante, se puede realizar la autosincronización multifrecuencia. Sin embargo, la diferencia de fase en la Fig. 4d es una curva monótona y \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2} \ne\) constante. Este resultado representa que no se puede realizar la autosincronización multifrecuencia del sistema de vibración. Las Figuras 4e,f son respectivamente las respuestas en tres direcciones. Los resultados de la Fig. 4 son consistentes con el modelo dinámico.

Autosincronización multifrecuencia con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5. (a) Velocidad, (b) diferencia de fase entre los motores 1 y 4, (c) diferencias de fase entre los motores 2 y 3, (d) diferencias de fase entre los motores 1 y 2, (e) respuesta en las direcciones x e y, ( f) respuesta en la dirección ψ.

Con los resultados anteriores, no se puede realizar la autosincronización multifrecuencia. Así, se introduce el método de relación de frecuencia fija en el sistema vibratorio. Como se muestra en la Fig. 5a, están las velocidades de cuatro motores. La velocidad dada del motor 1 es 60 rad/s, las velocidades de los motores 2, 3 y 4 alcanzan respectivamente 90 rad/s, 90 rad/s y 60 rad/s con el método de control. La Figura 5b es la carga de par de cuatro motores inductores. Los valores de las cargas de par están entre − 2 y 2, por lo que no puede aparecer el fenómeno de rotor bloqueado y sobrecarga de los motores. Todos los motores inductores pueden funcionar sin problemas. En la Fig. 5c, la fase entre los motores 1 y 4 es casi igual a cero, lo que ilustra que los motores 1 y 4 alcanzan el estado sincrónico estable. La Figura 5d son las diferencias de fase entre el motor 1 y los motores 2 y 3. Ambas diferencias de fase son iguales a constantes. Este resultado muestra que la sincronización controlada se realiza con el método de relación de frecuencia fija. Las figuras 5e,f son respuestas en las tres direcciones. En la Fig. 5e, dos grupos de motores giran en dirección opuesta. Por lo tanto, las fuerzas en la dirección y se contrarrestan entre sí y la amplitud en la dirección y es casi cero, mientras que las amplitudes en la dirección x se superponen. Este resultado concuerda con la teoría dinámica propuesta. En la figura 5f, la respuesta en la dirección ψ tiende a cero. Este fenómeno muestra que no hay oscilación en el sistema vibratorio. A través de la Fig. 5, se puede saber que el sistema vibratorio alcanza el estado sincrónico estable y la sincronización controlada se realiza con el método de relación de frecuencia fija. Para garantizar la arbitrariedad del parámetro n, en la Fig. 6 se presenta otra simulación en la que el parámetro se modifica de 1,5 a 1,2. En la Fig. 6, las cargas de par de cuatro motores aún satisfacen los requisitos de funcionamiento en función de los valores entre - 1 y 1. A través de las velocidades y diferencias de fase en las Fig. 6a, c, d, los resultados representan que el sistema vibratorio puede realizar la sincronización controlada con el parámetro n = 1,2. Aunque la respuesta de la dirección y en la Fig. 6e es diferente de la respuesta en la Fig. 5 debido al parámetro n diferente, las respuestas de las tres direcciones aún son consistentes con el modelo dinámico. Por lo tanto, el sistema vibratorio puede realizar una sincronización controlada estable. Este resultado demuestra la arbitrariedad del parámetro sólo si se satisfacen las condiciones de las cargas de torque.

Sincronización controlada con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5, \(\eta = 50\%\). (a) Velocidades, (b) pares de carga, (c) diferencia de fase entre el motor 1 y 4, (d) diferencias de fase entre el motor 1 con el motor 2 y 3, (e) respuestas en las direcciones x e y, (f) respuesta en la dirección ψ.

Sincronización controlada con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1.2, \(\eta = 50\%\). (a) Velocidades, (b) pares de carga, (c) diferencia de fase entre el motor 1 y 4, (d) diferencias de fase entre el motor 1 con el motor 2 y 3, (e) respuestas en las direcciones x e y, (f) respuesta en la dirección ψ.

Para validar la precisión de la teoría propuesta, los principales equipos experimentales se enumeran en primer lugar en la Fig. 7. Las frecuencias de cuatro motores inductores están establecidas por cuatro convertidores del tipo Siemens MM440. El PLC (controlador lógico programable) está conectado con los convertidores. Los tres sensores de aceleración están pegados en el banco de pruebas de vibración y conectados con el DASP (Adquisición de datos y procesamiento de señales), cuyo otro puerto está conectado a una computadora. Y luego, el experimento de autosincronización multifrecuencia se realiza basándose en n = 1,2 para compararlo con la simulación de la Fig. 4. Como se muestra en la Fig. 8, las frecuencias de cuatro motores se establecen respectivamente en 30 Hz, 36 Hz, 36 Hz y 30 Hz. A partir de (a), las velocidades son estables y alcanzan el valor preestablecido. Aunque la diferencia en (b) está entre − 5 y − 12, se puede reconocer que los motores 1 y 4 realizan el movimiento de autosincronización debido al error del experimento. Un resultado similar se muestra en la figura (c). En comparación con el resultado en (d) de la Fig. 4, (d) en la Fig. 8 muestra el mismo resultado de que la curva de la diferencia de fase entre los motores 1 y 2 también es monótona. Por lo tanto, no se puede realizar la autosincronización multifrecuencia. Las respuestas de las tres direcciones en (e) y (f) están de acuerdo con el resultado de la simulación y la teoría. Este experimento indica que la autosincronización multifrecuencia no se puede realizar sea cual sea el valor de n.

Equipo experimental del sistema vibratorio. (a) El banco de pruebas de vibración, (b) la adquisición de datos y procesamiento de señales, (c) los sensores de aceleración, (d) el interruptor magnético Hall, (e) el controlador lógico programable, (f) los convertidores.

Experimento de autosincronización multifrecuencia con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1.2, \(\eta = 50\%\). (a) Velocidades, (b) diferencia de fase entre los motores 1 y 4, (c) diferencias de fase entre los motores 2 y 3, (d) diferencias de fase entre los motores 1 y 2, (e) respuesta en la dirección x, (f) respuesta en la dirección y1, (g) respuesta en la dirección y2.

En la Fig. 9, se ilustra el experimento de sincronización controlada basándose en el parámetro n = 1,5. Según las figuras 9a a c, el motor 1 con 4 y el motor 2 con 3 realizan la sincronización controlada. En la Fig. 9d, la diferencia de fase entre los motores 1 y 2 tiende a ser constante, lo que confirma que se realiza la sincronización controlada. En la Fig. 9e, la respuesta es obviamente menor que la respuesta en la Fig. 9g, por lo que este resultado indica que el sistema vibratorio alcanza el estado sincrónico estable. La curva de respuesta de (e) en la Fig. 9 es similar a la curva de (e) en la Fig. 5 y este resultado experimental se corresponde con la simulación.

Experimento de sincronización controlada con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1.5, \(\eta = 50\%\). (a) velocidades, (b) diferencia de fase entre los motores 1 y 4, (c) diferencias de fase entre los motores 2 y 3, (d) diferencias de fase entre los motores 1 y 2, (e) respuesta en la dirección x, (f) respuesta en la dirección y1, (g) respuesta en la dirección y2.

El artículo investiga la sincronización controlada multifrecuencia de cuatro motores inductores con el método de relación de frecuencia fija basado en un cuerpo rígido masa-resorte. A través del modelo dinámico se derivan las condiciones de estabilidad y sincronización del sistema vibratorio. Este resultado indica que aunque se puede realizar la autosincronización con la misma frecuencia, la autosincronización multifrecuencia del sistema vibratorio no se puede realizar en el modelo dinámico de la Fig. 1. Se proporcionan algunas simulaciones numéricas y experimentos para certificar la consistencia. del resultado. Mediante la introducción del método de relación de frecuencia fija propuesto en el sistema de control, se realiza la sincronización controlada por multifrecuencia. A través del análisis de robustez, se certifica la estabilidad del sistema de control para iluminar la viabilidad del método de control. Se ilustra la conformidad de la teoría mediante simulaciones y experimentos. El resultado indica que sólo si se pueden satisfacer las condiciones de las cargas de torque, la arbitrariedad del parámetro de frecuencia fija se puede lograr con el método propuesto. Además, el método de sincronización controlada por multifrecuencia proporciona una forma novedosa de abordar el problema de las cribas vibratorias multifrecuencia en la industria.

Los conjuntos de datos generados durante el estudio actual no están disponibles públicamente hasta que finalice la financiación del proyecto en este artículo, pero están disponibles a través del autor correspondiente previa solicitud razonable.

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La investigación del autor cuenta con el apoyo del Proyecto General del Departamento de Educación de Liaoning 2022 (Proyecto No. LJKMZ20220602) y el Apoyo a la investigación científica 2021 para talentos de alto nivel de la Universidad Shenyang Ligong (1010147001001). El APC fue financiado por los mismos financiadores.

Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad Shenyang Ligong, Shenyang, 110159, China

Lei Jia, Chun Wang y Ziliang Liu

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LJ terminó el establecimiento del modelo dinámico, los experimentos y escribió el manuscrito principal. CW preparó todas las figuras y tablas. ZL terminó las simulaciones. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a Lei Jia.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Jia, L., Wang, C. y Liu, Z. Sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores inductores mediante el método de relación de frecuencia fija en un sistema de vibración. Informe científico 13, 2467 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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Recibido: 01 de noviembre de 2022

Aceptado: 07 de febrero de 2023

Publicado: 11 de febrero de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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